Question

如图，点P（1，t）是曲线C：y=

4

x

上的点，Q（a，b）是第一象限内一点，且△OPQ为等腰直角三角形，斜边OQ交曲线于M，求点M的坐标．

Answer 1

分析：作PA⊥x轴于A点，作QB⊥PA于B点，利用已知条件证得两三角形全等，进而求得Q点的坐标，然后求出直线OQ的解析式，最后求得直线与双曲线的交点坐标即可．

解答：解：作PA⊥x轴于A点，作QB⊥PA于B点，
∵点P（1，t）是曲线C：y=

4

x

上的点，
∴t=4，
∴P点的坐标为（1，4），
∴PA=4，OA=1，
∵△OPQ为等腰直角三角形，
∴PO=PQ，∠OPA=∠PQB，
∴△POA≌△QPB，
∴QB=PA=4，PB=OA=1，
∴Q点的坐标为（5，3）
∴线段OQ所在直线的解析式为y=

3

5

x，
∴令

4

x

=

3

5

x
解得：x=±

2 15

3

，
y=±

2 15

5

，
∵点M在第一象限，
∴M点的坐标为（

2 15

3

，

2 15

5

）．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，正确的构造辅助线求得点Q的坐标是解决本题的关键．