Question

如图，点A为⊙O直径CB延长线上一点，过点A作⊙O的切线AD，切点为D，过点D作DE⊥AC，垂足为F，连接BE、CD、CE，已知∠BED=30°．
（1）求tanA的值；
（2）若AB=2，试求CE的长．
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据切线的性质，∠ADO=90°，从而易证∠BOD=60°，所以∠A是特殊角等于30°，所以sinA=

1

2

．
（2）求弦长，要作弦的弦心距，构造直角三角形，并利用（1）的结论，求出圆的半径，从而求出弦长．
（3）通过证明△BEF≌△ODF，将阴影部分不规则图形的面积转化为规则图形的面积，也就是扇形BOD的面积．

解答：解：（1）连接OD，
∵DA为⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥AD，∠ADO=90°，
又∵∠BED=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．

（2）过点O作OG⊥EC于点G
∴sinA=

OD

OA

=

R

R+AB

=

R

R+2

=

1

2

，
得R=2，
∴OC=2，
∵DE⊥AC，BC为直径，
∴弧BE=弧BD，
∴∠ECB=∠BED=30°，
∴CE=2CG=2•OCcos30°=2

3

．

（3）∵由（1）∠BOD=60°得∠ODF=30°，
∴OF=

1

2

OD=

1

2

OB，即OF=FB，
由DE⊥AC，BC为直径，
得EF=FD，∠OFD=∠BFE=90°，
∴△BEF≌△ODF，
∴阴影部分面积等于扇形BOD的面积S=

60π•22

360

=

2π

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．