Question

点A在x轴上，OA_＝4，将线段OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

答案：解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO_＝90°.

       ∵∠AOB_＝120°，∴∠BOC_＝60°.

       又∵OA_＝OB_＝4

∴OC_＝OB_＝×4_＝2，BC_＝OB·sin60°_＝4×_＝2.

∴点B的坐标是(－2，2).                           （4分）

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y_＝ax²+bx..

 将A(4，0)，B(－2，2)代入，

得解得

∴此抛物线的解析式为y_＝.                 （8分）

（3）存在.

  如图，抛物线的对称轴是x_＝2，直线x_＝2与x轴的交点为D.

设点P的坐标为(2，y)

①若OB_＝OP，

则2²+| y |²_＝4²，解得y_＝±2.

当y_＝－2时，在Rt△POD中，∠POD_＝90°，

sin∠POD_＝.

∴∠POD_＝60°.

∴∠POB_＝∠POD+∠AOB_＝60°+120°_＝180°，

即P，O，B三点在同一条直线上，

∴y_＝－2不符合题意，舍去. ∴点P的坐标为(2，2).

②若OB_＝PB，则4²+| y －2|²_＝4²，解得y_＝2.

∴点P的坐标是(2，2).

③若OP_＝PB，则2²+| y |²_＝4²+| y－2 |²，解得y_＝2.

∴点P的坐标是(2，2).

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，2).   （14分）