Question

在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．
①若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，则

AD

BC

=

 

（用含有α的式子表示）；
②固定△AOB，将△COD绕点O旋转，PM最大值为

 

．

Answer 1

分析：（1）连接BM、CN，则BM⊥OA，CN⊥OD，由四点共圆的判定知点B、C、M、N在以BC为直径的圆，且有MP=PN=BC÷2，而MN是△AOD的中位线，有MN等于AD的一半，故AD：BC=MN：PM，而可求得△PMN∽△BAO，有MN：PN=AO：AB=2sinα，从而求得AD：BC的值；
（2）当DC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值，由梯形的中位线的公式可求解．

解答：解：连接BM、CN，
由题意知BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α，
∵A、O、C三点在同一直线上，
∴B、O、D三点也在同一直线上，
∴∠BMC=∠CNB=90°，
∵P为BC中点，
∴在Rt△BMC中，PM=

1

2

BC，在Rt△BNC中，PN=

1

2

BC，
∴PM=PN，
∴B、C、N、M四点都在以点P为圆心，

1

2

BC为半径的圆上，
∴∠MPN=2∠MBN，
又∵∠MBN=

1

2

∠ABO=α，
∴∠MPN=∠ABO，
∴△PMN∽△BAO，
∴

MN

PM

=

AO

BA

，
由题意知MN=

1

2

AD，PM=

1

2

BC，
∴

AD

BC

=

MN

PM

，
∴

AD

BC

=

AO

BA

，
在Rt△BMA中，

AM

AB

=sinα，
∵AO=2AM，
∴

AO

BA

=2sinα，
∴

AD

BC

=2sinα；

（2）当DC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=

5

2

．

点评：本题利用了相似三角形的性质和等腰三角形的性质：三线合一、四点共圆的判定、正弦的概念、梯形的中位线的性质求解