题目内容
已知：在△AOB中，AB=4| 2 |
（1）写出点A的坐标：
（2，4）
（2，4）
；（2）C为线段OB上的动点，D为线段AB上的动点，且始终有CD∥OA，若C由O向B运动的距离OC=x，△ACD的面积为y
①求y与x之间的函数关系式；
②是否存在这样的点D，使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍？若存在，请求出点D的坐标，否则请说明理由．
分析：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，解等腰直角三角形ABG，得到AG=BG=
AB=4，则OG=2，进而求出点A的坐标；
（2）①过点D作DH⊥x轴于点H，由CD∥OA，得出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应高的比等于相似比得出DH=
（6-x），再由S△ACD=S△ABC-S△BCD，将数据代入，即可得出y与x之间的函数关系式；
②根据△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍，列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点D的坐标．
| ||
| 2 |
（2）①过点D作DH⊥x轴于点H，由CD∥OA，得出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应高的比等于相似比得出DH=
| 2 |
| 3 |
②根据△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍，列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点D的坐标．
解答：
解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，则∠AGB=90°．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4
，∠B=45°，
∴AG=BG=4
×
=4，
∴OG=OB-BG=6-4=2，
∴点A的坐标为（2，4）．
故答案为（2，4）；
（2）①过点D作DH⊥x轴于点H．
∵CD∥OA，
∴△BCD∽△BOA，
∴
=
，即
=
，
∴DH=
（6-x）．
∵S△ACD=S△ABC-S△BCD=
BC•AG-
BC•DH，
∴y=
（6-x）×4-
（6-x）•
（6-x）=-
x2+2x，
即y与x之间的函数关系式为y=-
x2+2x；
②存在这样的点D，能够使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍．
∵S△AOC=
OC•AG=
x×4=2x，
∴2x=2（-
x2+2x），
整理，得
x2-x=0，
解得x1=3，x2=0（不合题意舍去），
∴x=3．
当x=3时，BH=DH=
（6-x）=
×（6-3）=2，
∴OH=OB-BH=6-2=4，
∴点D的坐标为（4，2）．
解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，则∠AGB=90°．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4
| 2 |
∴AG=BG=4
| 2 |
| ||
| 2 |
∴OG=OB-BG=6-4=2，
∴点A的坐标为（2，4）．
故答案为（2，4）；
（2）①过点D作DH⊥x轴于点H．
∵CD∥OA，
∴△BCD∽△BOA，
∴
| DH |
| AG |
| BC |
| OB |
| DH |
| 4 |
| 6-x |
| 6 |
∴DH=
| 2 |
| 3 |
∵S△ACD=S△ABC-S△BCD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
即y与x之间的函数关系式为y=-
| 1 |
| 3 |
②存在这样的点D，能够使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍．
∵S△AOC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴2x=2（-
| 1 |
| 3 |
整理，得
| 1 |
| 3 |
解得x1=3，x2=0（不合题意舍去），
∴x=3．
当x=3时，BH=DH=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴OH=OB-BH=6-2=4，
∴点D的坐标为（4，2）．
点评：本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中，得出DH的长度是解题的关键．
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