Question

如图，在平面直角坐标系中A（6，0），B（5，3），C（0，3），D（1，3），点P为线段OA上一点且∠BPD=45°，则点P坐标为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：作BD的垂直平分线交BD于H，交OA于N，在HN上截取HM=

1

2

BD，以M点为圆心，BM为半径作⊙O交OA于P₁，P₂，连接MP₁，如图，由MH⊥BD，MH=

1

2

BD可判断△BDM为等腰直角三角形，则∠BMD=90°，根据圆周角定理得∠BP₁D=∠BP₂D=

1

2

∠BMD=45°，即P₁点和P₂点为满足条件的点；再由D（1，3），B（5，3）得到BC∥OA，BD=4，由于MH垂直平分BD，易得H（3，3），N（3，0），M（3，1），然后根据勾股定理在Rt△BMH中计算出BM=2

2

，在Rt△MNP₁中计算出NP₁=

7

，
∴NP₂=NP₁=

7

，则OP₁=ON-NP₁=3-

7

，OP₂=ON+NP₂=3+

7

，易得P₁（3-

7

，0），P₂（3+

7

，0），所以P点坐标为（3-

7

，0）或（3+

7

，0）．

解答：解：作BD的垂直平分线交BD于H，交OA于N，在HN上截取HM=

1

2

BD，以M点为圆心，BM为半径作⊙O交OA于P₁，P₂，连接MP₁，如图，
∵MH⊥BD，MH=

1

2

BD，
∴△BDM为等腰直角三角形，
∴∠BMD=90°，
∴∠BP₁D=∠BP₂D=

1

2

∠BMD=45°，
∵D（1，3），B（5，3），
∴BC∥OA，BD=4，
∵MH垂直平分BD，
∴H（3，3），N（3，0），M（3，1），
在Rt△BMH中，BM=

BH2+MH2

=

22+22

=2

2

，
在Rt△MNP₁中，NP₁=

MP12-MN2

=

(2 2 )2-12

=

7

，
∴NP₂=NP₁=

7

，
∴OP₁=ON-NP₁=3-

7

，OP₂=ON+NP₂=3+

7

，
∴P₁（3-

7

，0），P₂（3+

7

，0），
即P点坐标为（3-

7

，0）或（3+

7

，0）．
故答案为（3-

7

，0）或（3+

7

，0）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理和等腰直角三角形的性质；会运用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形性质．