Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在原点，边AC在x轴的正半轴，AC=16，∠BAC=60°，AB=10，⊙P分别与边AB、AC相切于D、E（切点D、E不在边AB、AC的端点），ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求BC边的长和△ABC的面积；
（2）设AE=x，DF=y，写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探索△ADC与△DBF能否相似？若能相似，请求出x的值，同时判断此时⊙P与边BC的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由；
（4）当⊙P与△ABC内切时，⊙P与边BC相切于G点，请写出切点D、E、G的坐标（不必写出计算过程）．

Answer 1

分析：（1）过B作BG⊥x轴，垂足为G，解Rt△ABG，得BG，AG，再求CG，在Rt△CBG中，运用勾股定理求BC；
（2）由∠BAC=60°，AD，AE为圆的切线可知，△ADE为等边三角形，可设AE=AD=DE=x，DB=10-x，CE=16-x，过E作EH∥AB交BC于H，在△ABC中，由EH∥AB，利用相似比求EH，在△FEH中，由EH∥DB，利用相似比求x、y的关系；
（3）过P作PQ⊥BC，垂足为Q，连接PA、PB、PC，先假如△ADC与△DBF相似，利用相似比求x的值，再求圆的半径；
（4）当⊙P与△ABC内切时，连接AP，由内切圆半径r=

2S

AB+BC+AC

求r，在Rt△APE中，解直角三角形求AE，由△ADE为等边三角形，可求D点坐标，由CG=CE，利用相似比求G点坐标．

解答：解：（1）过B作BG⊥x轴，垂足为G，
在Rt△ABG中∠BAC=60°，AB=10，得到AG=5，
由勾股定理可得BG=5

3

，由于AC=16，可得GC=11，在Rt△BGC中由勾股定理可得BC=14，
（或B（5，5

3

）、C（16，0）由距离公式得BC=14）（1分）
∴S_△ABC=

1

2

AC•BG=40

3

（1分）

（2）在△ABC中，∵⊙P分别与边AB、AC相切于D、E，∴AE=AD，
又∠BAC=60°，可设AE=AD=DE=x，DB=10-x，CE=16-x（1分）
过E作EH∥AB交BC于H，在△ABC中，∵EH∥AB
∴

EH

AB

=

CE

CA

即

EH

10

=

16-x

16

，得EH=

5

8

(16-x)（1分）
在△FEH中，∵EH∥DB∴

FD

FE

=

DB

EH

即

y

x+y

=

10-x

5 8 (16-x)

（1分）
整理得y=-

8

3

x+

80

3

（0＜x＜10）（2分）

（3）假如△ADC与△DBF相似，∵∠DBF＞∠DCA，又∠DAC=∠BDF=60°
∴只能∠DBF与∠ADC，∠BFD与∠ACD是对应角（1分）
∴

AD

BD

=

AC

DF

，

x

10-x

=

16

y

，解得x₁=10（舍去），x₂=6（1分）
当x=6时，⊙P与边BC相切．
证明：当x=6时，求得⊙P的半径r=2

3

，
过P作PQ⊥BC，垂足为Q，连接PA、PB、PC，有S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC
即40

3

=

1

2

•10•2

3

+

1

2

•16•2

3

+

1

2

•14•PQ，解得，PQ=2

3

=r
∴⊙P与边BC相切．（2分）

（4）D（3，3

3

），E（6，0），G（

57

7

，

25 3

7

）．（3分）

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及切线的性质的运用．关键是根据图形作平行线，构造相似三角形求解．