Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．

（1）求证：；

（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．

①如图2，若∠AFE＝45°，求的值；

②如图3，若AB＝BC，EC＝3CF，直接写出cos∠AFE的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②cos∠AFE＝

【解析】

（1）用特殊值法，设，则，证，可求出CF，DF的长，即可求出结论；

（2）①如图2，过F作交AD于点G，证和是等腰直角三角形，证，求出的值，即可写出的值；②如图3，作交AD于点T，作于H，证，设CF＝2，则CE＝6，可设AT＝x，则TF＝3x，，，分别用含x的代数式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出结论．

（1）设BE＝EC＝2，则AB＝BC＝4，

∵，

∴，

∵，

∴∠FEC＝∠EAB，

又∴，

∴，

∴，

即，

∴CF＝1，

则，

∴；

（2）①如图2，过F作交AD于点G，

∵，

∴和是等腰直角三角形，

∴，，

∴∠AGF＝∠C，

又∵，

∴∠GAF＝∠CFE，

∴，

∴，

又∵GF＝DF，

∴；

②如图3，作交AD于点T，作于H，

则，

∴，

∴∠ATF＝∠C，

又∵，且∠D＝∠AFE，

∴∠TAF＝∠CFE，

∴，

∴，

设CF＝2，则CE＝6，可设AT＝x，则TF＝3x，，

∴，且，

由，得，

解得x＝5，

∴．