题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；
（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．
【答案】
（1）
解：∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），
∴设y=a（x﹣2）2﹣1，
将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，
解得：a=1，
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3
（2）
解：令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
∵点A在点B的右边，
∴A （3，0），B（1，0）
设直线AC的函数关系式为y=mx+n，
将A（3，0），C（0，3）代入上式得， 
，解得： 
，
∴y=﹣x+3．
∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，
∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），
∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x= 
∴当 
时，l取得最大值为 
（3）
解：分两种情况：
①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，
由（2）可知B（1，0），
∴P（1，0）．
②当点A为直角顶点时，如图2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD=45°，
当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，
∴AO平分∠DAP，
又∵PD∥y轴，
∴PD⊥AO，
∴P与D关于x轴对称，
∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），
∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，
整理得x2﹣5x+6=0，
∴x1=2，x2=3（舍去），
当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，
∴P的坐标为P（2，﹣1）．
∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）
【解析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=Dy﹣Py列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．
