Question

11．如图，已知二次函数y=ax²+bx+4的图象经过点A（4，0）、B（-2，0）．
（1）直接写出C点坐标；
（2）求此二次函数的表达式；
（3）连结AC、BC，P是线段AB上的一动点（P不与A、B重合），过P作PD∥AC，交BC于D，连结CP当P在什么位置时，△PCD的面积取最大值？求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式求得点C的坐标；
（2）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；
（3）设点P的坐标为（m，0），利用相似三角形的判定定理推知△PBD∽△ABC，结合相似三角形的性质易推知△PBD的边PB上的高为h=$\frac{2}{3}$（m+2）．根据图形得到S_△PCD=S_△PBC-S_△PBD，利用二次函数最值的求法进行解答即可．

解答 解：（1）∵抛物线的解析式是y=ax²+bx+4，
∴当x=0时，y=4，
∴C（0，4）；

（2）把A（4，0）、B（-2，0）代入y=ax²+bx+4，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{4a-2b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
故该函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（3）设点P的坐标为（m，0），则-2＜m＜4，PB=m+2，AB=6，
∵PD∥AC，
∴△PBD∽△ABC，
设△PBD的边PB上的高为h，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{h}{OC}$，即h=$\frac{2}{3}$（m+2）．
∴S_△PCD=S_△PBC-S_△PBD=$\frac{1}{2}$（m+2）×4-$\frac{1}{2}$（m+2）（$\frac{2}{3}$m+2）．即S_△PCD=-$\frac{1}{3}$（m-1）²+3．
当m=1时，△PCD的面积取最大值3，此时点P的坐标为（1，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，需要系统掌握二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积的求法以及二次函数最值的求法，难度较大．