Question

12．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；
（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．     

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠EDF=60°，推出△ABC、△DEF为等边三角形，于是得到∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到AD=BE，即可得到结论；
（2）在FA上截取FM=AE，连接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根据全等三角形的性质得到DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，证得∠ADM=∠EDF=∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质得到AM=BC，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠BAC=∠EDF=60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，
在△BCE和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}BC=AC\\∠BCE=∠ACD\\ CE=CD\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，
∴AE+AD=AE+BE=AB=AF；

（2）在FA上截取FM=AE，连接DM，
∵∠BAC=∠EDF，
∴∠AED=∠MFD，
在△AED和△MFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=MF}\\{∠AKD=∠MFD}\\{KD=FD}\end{array}\right.$
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，
即∠ADM=∠EDF=∠BAC，
在△ABC和△DAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}\\{∠BAC=∠ADM}\\{AC=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM=BC，
∴AE+BC=FM+AM=AF．
即AF=AE+BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．