Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC、AD，延长AB交过点C的直线于点P，且∠DCP=∠DAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=5，CD=6，求PC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OC，根据垂径定理由AB⊥CD得BC弧=BD弧，再根据圆周角定理得∠BOC=∠DAC，而∠DCP=∠DAC，则∠BOC=∠DCP，由于∠ECO+∠EOC=90°，所以∠ECO+∠DCP=90°，于是可根据切线的判定定理得到PC是⊙O的切线；
（2）由AB⊥CD，根据垂径定理得到CE=

1

2

CD=3，在Rt△ACE中利用勾股定理计算出AE=4，设⊙O的半径为R，在Rt△OCE中，则OC=R，OE=AE-OA=4-R，
则利用勾股定理得到（4-R）²+3²=R²，解得R=

25

8

，所以OC=

25

8

，OE=4-

25

8

=

7

8

，然后证明Rt△PCE∽Rt△COE，再利用相似比可计算出PC．

解答：（1）证明：连结OC，
∵AB⊥CD，
∴BC弧=BD弧，
∴∠BOC=∠DAC，
∵∠DCP=∠DAC，
∴∠BOC=∠DCP，
∵∠ECO+∠EOC=90°，
∴∠ECO+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵AB⊥CD，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×6=3，
在Rt△ACE中，AC=5，CE=3，
∴AE=

AC2-CE2

=4，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=AE-OA=4-R，
∵OE²+CE²=OC²，
∴（4-R）²+3²=R²，解得R=

25

8

，
∴OC=

25

8

，OE=4-

25

8

=

7

8

，
∵∠EOC=∠DCP，
∴Rt△PCE∽Rt△COE，
∴

PC

OC

=

CE

OE

，即

PC

25 8

=

3

7 8

，
∴PC=

75

7

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．