Question

已知二次函数．
【小题1】求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
【小题2】当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
【小题3】将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

【小题1】证明：令y=0,则．
∵△=,             
又∵， ∴．即△>0．
∴无论m为任何实数，一元二次方程总有两不等实根．
∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．   
【小题2】解：∵二次函数的图象经过点（3，6）,
∴.解得.  
∴二次函数的解析式为
【小题3】解：将向下平移2个单位长度后得到解析式为：
解方程组  得     
∴直线与抛物线的交点为 
∴点A关于对称轴的对称点是,点B关于x轴的对称点是.
     设过点、的直线解析式为．
∴    解得
∴直线的解析式为.
∴直线与x轴的交点为.                       
与直线的交点为.                          
则点、为所求．
过点做，∴，.
在Rt△中，.
∴所求最短总路径的长为.

解析