Question

【题目】如图，将绕点逆时针旋转得到.

（1）观察猜想

小明发现，将绕点逆时针旋转，如图1，他发现的面积与的面积之间有一定的数量关系，请直接写出这个关系：______；

（2）类比探究

如图2，是的中点，请写出与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图3，，，，，在线段上，交于，若，，请直接写出的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE＝2AM，，理由见解析；（3）

【解析】

（1）结论：S1＝S2．如图1中，作EH⊥BA交BA的延长线于H，CM⊥AD于M，利用三角形的面积公式证明即可；
（2）如图2中，延长至点使得，连接，易证，求出，然后证明，得到，，延长交于点，求出即可；
（3）作DT∥AC交AH的延长线于T．连接DE．证明△BAC≌△DAE（SAS），推出∠ADE＝∠ABC＝45°，BC＝DE＝2，推出∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，推出，再证明AH＝BE即可解决问题．

解：（1）结论：S1＝S2．

理由：如图1中，作EH⊥BA交BA的延长线于H，CM⊥AD于M．

由题意CA＝AE，AD＝AB，∠CAE＝∠DAF＝90°，

∴∠EAH＝∠CAM，

∴sin∠CAM＝sin∠EAH，

∵S1＝ADCM＝ADACsin∠CAM，S2＝ABEH＝ABAEsin∠EAH，

∴S1＝S2．

故答案为S1＝S2；

（2）结论：BE＝2AM，；

理由：延长至点使得，连接，

易证，

∴且，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，，

延长交于点，

在中，，

∴，

∴；

（3）作DT∥AC交AH的延长线于T，连接DE．

∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠BAC＝∠DAE，

∴△BAC≌△DAE（SAS），

∴∠ADE＝∠ABC＝45°，BC＝DE＝2，

∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，

∴BE＝，

∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠CAD＋∠BAE＝180°，

∵AC∥DT，

∴∠CAD＋∠ADT＝180°，

∴∠BAE＝∠ADT，

∵AH⊥BE，

∴∠DAT＋∠BAT＝90°，∠ABE＋∠BAT＝90°，

∴∠DAT＝∠ABE，

∵AB＝AD，

∴△ABE≌△DAT（ASA），

∴BE＝AT，AE＝DT，

∵AC＝AE，

∴AC＝DT，

∵∠CAH＝∠T，∠AHC＝∠DHT，

∴△AHC≌△THD（AAS），

∴AH＝HT，

∴AH＝BE＝．