Question

【题目】如图1，点A在第一象限，轴于B点，连结，将折叠，使点落在x轴上，折痕交边于D点，交斜边于E点，（1）若A点的坐标为，当时，点的坐标是______；（2）若与原点O重合，，双曲线的图象恰好经过D，E两点（如图2），则____．

Answer 1

【答案】（，0）

【解析】

（1）由题意可求得OA的长，再根据三角函数与折叠的性质可得AE：OE的值，进而可求得AE与OE的长，然后由勾股定理求得OA′的长即得答案；

（2）首先设点A的坐标为（2a，2b），进而可表示出点E和点D的坐标，然后在Rt△OBD和Rt△OAB中，利用勾股定理可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而可得结果．

解：（1）∵AB⊥x轴，A点的坐标为（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴OA＝，

∵EA′∥AB，∴EA′⊥x轴，∴sin∠AOB＝，

由折叠的性质可得：A′E＝AE，∴AE：OE＝3：5，

∴A′E＝AE＝，OE＝，

∴，

∴点A′的坐标是：（，0）；

（2）设点A的坐标为：（2a，2b），

∵A′与原点O重合，∴点E的坐标为：（a，b），

∵双曲线的图象恰好经过D、E两点，∴k＝ab，

∴点D的坐标为：（2a，b），

∴AB＝2b，BD＝b，OB＝2a，

由折叠的性质可得：OD＝AD＝AB﹣BD＝，

在Rt△OBD中，OD2＝OB2+BD2，即（）2＝（2a）2+（b）2①，

在Rt△OAB中，OA2＝OB2+AB2，即42＝（2a）2+（2b）2②，

联立①②解得：，∴k＝ab＝．

故答案为：（1）（，0）；（2）．