Question

15．已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；
（2）将x=1代入方程（x-3）（x-2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．

解答 （1）证明：∵（x-3）（x-2）=|m|，
∴x²-5x+6-|m|=0，
∵△=（-5）²-4（6-|m|）=1+4|m|，
而|m|≥0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，
∴|m|=2，
解得：m=±2，
∴原方程为：x²-5x+4=0，
解得：x₁=1，x₂=4．
即m的值为±2，方程的另一个根是4．

点评 此题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．