Question

【题目】正方形中，点是对角线的中点，是对角线上一动点，过点作于点．如图，当点与点重合时，显然有．

（）如图，若点在线段上（不与点、重合），且交于点．

求证：．

（）如图所示建立直角坐标系，且正方形的边长为，若点在线段上（不与点、重合），，且交直线于点．请在图中作出示意图，并且求出当是一个等腰三角形时，点的坐标为__________（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（）见解析（）

【解析】试题分析：

（1）如图，连接PD，由正方形是关于对角线对称的轴对称图形和点P在AC上可得，；由，可得，结合，可得，从而可得，再结合即可得到DF=EF；

（2）如图2，先按要求画出图形，再过P作PG⊥x轴于点G，PH⊥y轴于点H，则由已知易得PG=PH=GC=HC，△BPG≌△EPH，从而可得EH=BG，设PG=a，则可得：GC=CH=a，PC=，BG=EH=1-a，CE=1-2a；由△PCE是等腰三角形和∠PCE是钝角可得：PC=CE，从而可得，由此求得a的值即可得到点P的坐标了.

试题解析：

（）如图，连接，

∵ 四边形是正方形，点P在对角线AC上，

∴ 由正方形关于对角线AC对称可得：，，

∵ ，，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∵ ．

（）点坐标为，

过点作轴，轴，

∵ 四边形是正方形，为对角线，

∴ ，，

又∵，

∴ ，

∴ ≌，

∴ ，

设，则，PC=，

∴ ，

∴ ，

∵ 为钝角，

∴ 当为等腰三角形时， ，

∵ ，，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 点坐标为．