Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，动点以每秒2个单位长度的速度从点向终点运动，过点作，交直线于点.设，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．设四边形与的重叠部分面积为（平方单位），，点的运动时间为秒．

（1）求的长；

（2）求证：四边形是平行四边形；

（3）求与的函数关系式，并直接写出自变量取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）根据直线与坐标的交点求法，直线求出A,B两点的坐标．

（2）由，得出，再利用旋转的性质与等量代换，得出，，求得四边形是平行四边形．

（3）要对问题分类讨论，当时，四边形在三角形ABO内部时的重叠部分面积；当时，四边形有部分不在三角形ABO内时重叠部分面积．

（1）∵直线与轴、轴分别交于点、

∴，

∴，

∴

（2）∵∴

由旋转知，

∴，

∴四边形是平行四边形

（3）∵直线与轴、轴分别交于点、

∴，∴

过点作于点

∵∴

∴

∴当时

当时

∵∴

∵∴

∴

∴∴

∴

∵平行四边形∴

∴

∴

∴

∴

∴

【点晴】

本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的判定，三角函数，平行四边形面积的求法以及分类的思想等知识；本题难点是对重叠部分进行分类，以及重叠部分面积的求法．