Question

9．设S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{199{7}^{2}}+\frac{1}{199{8}^{2}}}$，则与S最接近的数是（　　）

• A． 1997
• B． 1998
• C． 1999
• D． 2000

Answer 1

分析 由等式的左边可以看出，被开方数都是1加连续两个自然数平方倒数和的形式；中间的算式都是1加第一个自然数的倒数，再减去第二个自然数的倒数；右边的结果为1加两个自然数乘积的倒数．

解答 解：∵n为任意正整数，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+{n}^{2}+（n+1）^{2}}{[n（n+1）]^{2}}}$=$\sqrt{\frac{[n（n+1）]^{2}+2n（n+1）+1}{[n（n+1）]^{2}}}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{n（n+1）}$=$1+\frac{1}{n（n+1）}$
∴S=（$1+\frac{1}{1×2}$）+（1+$\frac{1}{2×3}$）+（1+$\frac{1}{3×4}$）+…+（1+$\frac{1}{1997×1998}$）
=1997+（$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{1997×1998}$）
=1997+[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{1997}$-$\frac{1}{1998}$）]
=1998-$\frac{1}{1998}$，
因此与s最接近的整数是1998，
故选B．

点评 此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．