题目内容

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴正半轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数 $数学公式$ 的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）分别计算AF与BE的值（结果用含a、b的代数式表示）；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由．

解：（1）点E（a，1-a），点F（1-b，b）；

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ；

（3）BE= $\text{[math]}$ ，
AF= $\text{[math]}$ ；

（4）△AOF∽△BEO，
证明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO；
∵点P（a，b）是曲线 $\text{[math]}$ 上一点，
∴2ab=1，即AF•BE=1；
又∵OA•OB=1，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴△AOF∽△BEO．
分析：（1）根据图示知，点F的纵坐标是b，横坐标是OB-ON=1-a；点E的纵坐标是OA-AM=1-a，横坐标是a；
（2）利用割补法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根据相似三角形的判定定理SAS证明△AOF∽△BOE．
点评：本题主要考查了反比例函数的综合题、相似三角形的判定及勾股定理．解答（4）题时，利用反比例函数图象上的点的特点，图象上所有的点都满足函数解析式．