Question

20．如图（1），∠AOB=120°，在∠AOB内作两条射线OC和OD，且OM平分∠AOD，ON平分∠BOC．
①若∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，求∠MON的度数．
②若将图（1）中的∠COD绕点O顺时针转一个小于70°的角α如图（2），其它条件不变，请直接写出∠MON的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，设∠AOC=5x，∠COD=3x，∠DOB=4x，再根据∠AOC+∠COD+∠BOD=120°，列出方程5x+3x+4x=120°，求得x的值后，得出∠AOC=50°，∠COD=30°，∠DOB=40°，再根据∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD进行计算，即可∠MON的度数；
（2）先根据OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，得出∠DOM=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，再根据∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOD+$\frac{1}{2}$∠BOC-∠COD=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOC）-∠COD=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）-∠COD进行计算，即可得出∠MON的度数．

解答 解：（1）如图1，∵∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，
∴可设∠AOC=5x，∠COD=3x，∠DOB=4x，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC+∠COD+∠BOD=120°，
∴5x+3x+4x=120°，
解得x=10°，
∴∠AOC=50°，∠COD=30°，∠DOB=40°，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠DOM=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$（50°+30°）=40°，
∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（30°+40°）=35°，
∴∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD=40°+35°-30°=45°；

（2）如图2，∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠DOM=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠MON=∠DOM+∠CON-∠COD
=$\frac{1}{2}$∠AOD+$\frac{1}{2}$∠BOC-∠COD
=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠BOC）-∠COD
=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）-∠COD
=$\frac{1}{2}$∠AOB-$\frac{1}{2}$∠COD
=$\frac{1}{2}$×120°-$\frac{1}{2}$×30°
=45°．

点评 本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算求解，其难点在于将∠MON用∠DOM+∠CON-∠COD进行表示，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．