Question

（1）如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，由第一个三角形ABC的周长C₁=1，
则第二个三角形的周长C₂=

 

第三个三角形的周长C₃=

 

…
第2006个三角形的周长C₂₀₀₆=

 

…
第n个三角形的周长C_n=

 

（2）在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第k个图形中，互不重叠的三角形共有

 

个（用含k的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半．据此找规律求解；
（2）根据图形结合题目所给数据寻找规律，发现图2比图1多3个互不重叠的三角形，即4+3个；图3比图2多3个互不重叠的三角形，即4+3×2个；依此类推，图k中互不重叠的三角形的个数是4+3（k-1），即3k+1个．

解答：解：（1）根据三角形的中位线定理，得每一个三角形的边长是前边三角形边长的

1

2

．
∴△A₃B₃C₃的周长C₃=(

1

2

)2=

1

4

；
△A_nB_nC_n的周长C_n=(

1

2

)(n-1)．
∴第二个三角形的周长C₂是第一个三角形周长的

1

2

，即C₂=

1

2

；
第三个三角形的周长C₃是第二个三角形周长的

1

2

，即C₃=

1

4

；
…C₂₀₀₆=(

1

2

)2005；
Cn=

1

2(n-1)

（2）图1中互不重叠的三角形有4个，
图2中互不重叠的三角形有7=4+3个，
图3中互不重叠的三角形有10=4+3×2个，
按此规律图k中互不重叠的三角形有4+3（k-1）=3k+1个．
故答案为：（1）

1

2

、

1

4

、(

1

2

)2005、(

1

2

)(n-1)；（2）3k+1．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、图形的变化类．解答时，把图形和数据相结合，找出其中的内在联系，按照规律便能顺利解题．