Question

6．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC、AF⊥DC，垂足分别为点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且AG=AH．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）延长AF、BC相交于点P，求证：BC²=DF•BP．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠AGH=∠AHG，等量代换得到∠BGE=∠DHF，得到∠CBD=∠CDB，于是得到BC=CD，即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AD∥PB，AB∥CD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{PB}=\frac{DF}{AB}$，等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGE，∠DHF=∠AHG，
∴∠BGE=∠DHF，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，
∴∠BEG=∠DFH，
∴∠EBG=∠FDH即∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥PB，AB∥CD，
∴△ADH∽△PBH，△ABH∽△FDH，
∴$\frac{AD}{PB}=\frac{DH}{BH}$，$\frac{DF}{AB}=\frac{DH}{BH}$，
∴$\frac{AD}{PB}=\frac{DF}{AB}$，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=AD，
∴$\frac{BC}{PB}=\frac{DF}{BC}$，
∴BC²=DF•BP．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．