Question

如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,正方形的性质

专题：证明题

分析：首先要连接MB、MD，然后证明△FBM≌△MDH，从而求出两角相等，且有一角为90°．

解答：证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P，
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=

1

2

AC=BC=BF；
MB∥CD，且MB=

1

2

CE=CD=DH（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

BF=HD ∠FBM=∠HDM BM=DM

∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．
∴∠FMB+∠HMD=180°-∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB=∠E，
同理：∠DME=∠A．
∴∠AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM．
由已知可得：BM=

1

2

CE=AB=BF，
∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM，
∴∠FMH=180°-（∠FMB+∠HMD）-（∠AMB+∠DME），
=180°-（180°-∠FBM）-∠CBM，
=∠FBM-∠CBM
=∠FBC=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的性质和判定应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等，本题综合考查了等腰三角形的判定，偏难，学生要综合运用学过的几何知识来证明．