Question

8．如图，A（-1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB=2．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为点A与点B都在x轴上，所以到点A的距离为2的点有两个．（2）点A、B共线，故：S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×4．（3）设存在一点P（x，y），则由S_△ABP=$\frac{1}{2}$•AB•|y|=7分析求解．

解答 解：（1）如下图所示：

△AB′C或△AB″C是所求作的三角形．
由图形可知：点B的坐标为（-3，0）或（1，0）．
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CB′=$\frac{1}{2}×2×4$=4，
即：△ABC的面积为4．
（3）设存在一个点P（x，y），使得使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，
则：S_△ABP=$\frac{1}{2}$•AB•|y|=7
即：$\frac{1}{2}$×2×|y|=7
解之得：y=±7
所以，点P的坐标为（x，7）或（x，-7），其中，x为任意一个实数．
即：存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，其中点P的坐标为（x，7）或（x，-7）
       x为任意实数．

点评 本题考查了坐标与图象的性质，解题的关键是了解并掌握坐标系中点的位置与坐标特征．