Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=3∠C，∠A的平分线AD交BC于D，BP⊥AD于P．
求证：BP=

1

2

（AC-AB）．

Answer 1

分析：先根据∠A的平分线AD交BC于D，BP⊥AD于P推出△ABE为等腰三角形，再证明△BEC是等腰三角形即可顺利得出结论．

解答：证明：因为∠A的平分线AD交BC于D，BP⊥AD，所以△ABE为等腰三角形，所以AE=AB
设∠AEB=z度，∠EBC=y度，∠C=x度，则∠ABC=3x度
于是z=x+y，z=3x-y
整理得x=y，则BE=CE
于是BP=PE=

1

2

BE=

1

2

EC=

1

2

（AC-AE）=

1

2

（AC-AB）．

点评：此题巧妙利用了等腰三角形的两底角相等、两腰相等、三线合一等性质，是一道好题；得到∠C=∠EBC是正确解答本题的关键．