Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b²-4ac＞0；②abc＞0；③2a+b＞0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＞0．其中，结论正确的是

 

（填序号即可）．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
故本选项正确；
②∵该抛物线的开口方向向上，
∴a＞0；
∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
根据图象知，对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，即b＜0；
∴abc＞0
故本选项正确；
③根据图象知，对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a；
∴2a+b=0；
故本选项错误；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；
故本选项正确；
⑤∵对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
可将抛物线的解析式化为：y=ax²-2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=-2时，y＞0；即4a-（-4a）+c=8a+c＞0，
故本选项正确；
综上所述，正确的说法是：①②④⑤．
故答案是：①②④⑤．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．