Question

四边形ABCD为直角梯形，AD：BC=2：3，E为DC边上的中点，连接AE交BD于H点，过点H作HN⊥AD于N，NH的延长线交BC于点M，则：①AH：HE=4：3；②M为BC的中点；③S_{四边形BHEC}-S_△ABH=2S_△AHD，则正确的结论有（　　）

A．只有①②

B．只有①③

C．只有②③

D．①②③

Answer 1

分析：连结BE，过E点作EF∥BC交AB于点F，交MN于点G．
①通过求解得到S_△BDE=

1

2

×S_△BCD=

1

2

×

3

2

S_△ABD=

3

4

S_△ABD，即可作出判断；
②根据梯形中位线定理得到AD：FE：BC=2：2.5：3，从而得到BM=FG=

4

7

FE=

10

21

BC，即可作出判断；
③分别求出S_△ABH，2S_△AHD，S_{四边形BHEC}与S_{四边形ABCD}的关系，即可作出判断．

解答：解：连结BE，过E点作EF∥BC交AB于点F，交MN于点G．
①∵E为DC边上的中点，
∴S_△BDE=S_△CBE，
∵AD：BC=2：3，
∴S_△BDE=

1

2

×S_△BCD=

1

2

×

3

2

S_△ABD=

3

4

S_△ABD，
即S_△ABD：S_△BDE=4：3，
∴AH：HE=4：3；故①正确；
②∵AH：HE=4：3，
∴FG：GE=4：3，
∵AD：BC=2：3，
∴AD：FE：BC=2：2.5：3，
∴BM=FG=

4

7

FE=

10

21

BC，
故M不为BC的中点；故②错误；
③S_△ABH=

1

2

S_{四边形ABCD}×

4

7

=

2

7

S_{四边形ABCD}，
2S_△AHD=2×

1

2

S_{四边形ABCD}×

2

5

×

4

7

=

8

35

S_{四边形ABCD}，
S_{四边形BHEC}=S_{四边形ABCD}-（

2

7

S_{四边形ABCD}，+

1

2

S_{四边形ABCD}×

2

5

）=

18

35

S_{四边形ABCD}，
∵

18

35

S_{四边形ABCD}-

2

7

S_{四边形ABCD}=

8

35

S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形BHEC}-S_△ABH=2S_△AHD；故③正确．
故选B．

点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有平行线的性质，相似三角形的性质，梯形的性质的中位线定理，等高的三角形面积之间的关系，有一定的难度．