Question

如图，⊙O半径为2，直径CD以O为中心，在⊙O所在平面内转动，当CD转动时，OA固定不动，0°≤∠DOA≤90°，且总有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC与⊙O交于E，连AD，设CE为x，四边形ABCD的面积为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（2）当x=2

3

时，求四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比；
（3）当x取何值时，四边形ABCD为直角梯形？连EF，此时OCEF变成什么图形？（只需说明结论，不必证明）

Answer 1

分析：（1）由于四边形ABCD不是规则的四边形，可将其分成平行四边形ABCO和△AOD两部分来求解，连接DE，过O作OH⊥BC于H，那么不难得出OH是△CDE的中位线，在直角三角形CDE中，可用直径和CE的长求出DE的值，然后即可得出OH的长，进而可根据四边形ABCD的面积计算方法求出y，x的函数关系式．下面说x的取值范围，0°≤∠DOA≤90°；因此0≤cos∠DOA≤1，而cos∠DOA=

CE

CD

=

x

4

；因0≤

x

4

≤1，即0≤x≤4；
（2）连接OE，那么四边形的圆内部分可分为扇形ODE和△OCE两部分，△OCE的面积容易求得；重点说明扇形ODE的面积计算方法，关键是求出圆心角∠DOE的度数；在直角三角形CDE中，CD=4，CE=2

3

，因此∠DCE=30°；根据圆周角定理，∠DOE=2∠DCE=60°；根据扇形的面积公式即可求出扇形ODE的面积；然后再分别计算出△OCE的面积和四边形ABCD的面积，进行比较即可．
（3）当∠CDA=90°，∠DAO=30°所以∠DCB=∠DOA=60°此时△OCE为等边三角形，所以x=2时，四边形ABCD为直角梯形，
此时OCEF变成了菱形．

解答：解：（1）连接DE，过O作OH⊥BC于H，则DE⊥BC，OH∥DE，
∵CD=4，CE=x，
∴DE=

CD2-CE2

=

42-x2

=

16-x2

，
∴OH=

1

2

DE=

16-x2

2

，
∴y=S_?ABCO+S_△OAD=4×

16-x2

2

+

1

2

×4×

16-x2

2

，
=3

16-x2

（0≤x≤4），
∴x的取值范围为0≤x≤4；

（2）当x=2

3

时，
∵CE=2

3

，CD=4，
∴DE=2，∠C=30°，
∴∠DOE=60°，OH=1，
∵S_圆内部分=

60×π×22

360

+

1

2

×2

3

×1=

2π

3

+

3

，
∵S_{四边形ABCD}=3

16-x2

=3

16-12

=6，
∴S_圆内部分：S_{四边形ABCD}=

2π+3 3

18

，
∴四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比为（2π+3

3

）：18；

（3）当∠CDA=90°，
由OA=2OD，得∠DAO=30°
所以∠DCB=∠DOA=60°
此时△OCE为等边三角形，所以x=2时，四边形ABCD为直角梯形，
连EF，此时OCEF变成了菱形

点评：本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的性质、图形面积的求法、三角函数、直角梯形的判定等知识点的综合运用能力．