题目内容

如图，△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，连接
A₂B₁并延长到点B₂，使A₂B₁=B₁B₂，以A₂B₂为边作等边△A₂B₂C₂，A₃为等边
△A₂B₂C₂的中心，连接A₃B₂并延长到点B₃，使A₃B₂=B₂B₃，以A₃B₃为边作等边△A₃B₃C₃，依次作下去得到等边△A_nB_nC_n，则等边△A₅B₅C₅的边长为________．

$\text{[math]}$
分析：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，根据等边三角形的中心的性质得∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁= $\text{[math]}$ A₁B₁= $\text{[math]}$ ，利用余弦的定义得cos∠A₂B₁D₁=cos30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可计算出A₂B₁= $\text{[math]}$ ，由A₂B₁=B₁B₂得到A₂B₂= $\text{[math]}$ ，用同样的方法可计算出A₃B₃=（ $\text{[math]}$ ）²，于是A₄B₄=（ $\text{[math]}$ ）³，A₅B₅=（ $\text{[math]}$ ）⁴．
解答：

解：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，如图，
∵△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，
∴∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁= $\text{[math]}$ A₁B₁= $\text{[math]}$ ，
∴cos∠A₂B₁D₁=cos30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴A₂B₁= $\text{[math]}$ ，
∵A₂B₁=B₁B₂，
∴A₂B₂= $\text{[math]}$ ，
同理可得∠A₃B₂D₂=30°，B₂D₂= $\text{[math]}$ A₂B₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴cos∠A₃B₂D₂=cos30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴A₃B₂= $\text{[math]}$ ，
∵A₃B₂=B₂B₃，
∴A₃B₃= $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
同理可得A₄B₄=（ $\text{[math]}$ ）³，
A₅B₅=（ $\text{[math]}$ ）⁴．= $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了特殊角的三角函数值．