Question

11．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），点C为双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的一点，且位于直线y=$\frac{1}{2}$x上方，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为（2，4）．

Answer 1

分析 先求出双曲线的函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，再联立方程组求出A点的坐标，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE=6，列出方程求解即可得到点C的坐标．

解答 解：∵点B（-4，-2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上，
∴k=-2×（-4）=8，
∴双曲线的函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，
联立方程组得 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得x=4，y=2．（负值已舍去）
∴A（4，2）．
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∴OE=4，AE=2，
设点C的坐标为（a，$\frac{8}{a}$），则OF=a，CF=$\frac{8}{a}$，
则S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE
=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（4-a）-$\frac{1}{2}$×4×2
=$\frac{16-{a}^{2}}{a}$，
∵△AOC的面积为6，
∴$\frac{16-{a}^{2}}{a}$=6，
整理得a²+6a-16=0，
解得a₁=2或a₂=-8（舍去），
∴点C的坐标为（2，4）．
故答案为：（2，4）．

点评 本题考查反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解；解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题．