Question

已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
【小题1】若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值
【小题2】若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

Answer 1

【小题1】∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入y=x中，得y=-2，
∴B点坐标为（-8，-2），
而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2），
∴k=8×2=16；      （4分）
【小题2】∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴mn=k，B（-2m，-），C（-2m，-n），E（-m，-n），
∴S_矩形DCNO=2mn=2k，
∴S_△DBO=mn=k，
∴S_△OEN=mn=k，
∴S_{四边形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直线y=x及双曲线y=，得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
设直线CM的解析式是y=ax+b，
由C、M两点在这条直线上，得

解得a=b=，
∴直线CM的解析式是y=x+.（8分）解析:
（1）将D的坐标可得B的横坐标，代入解析式可得B的坐标，又有A、B两点关于原点对称，易得k的值；
（2）根据题意B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，可得BCD的坐标关于mn的表达式，进而可以表示出矩形的面积；代入数据可得答案。