题目内容

20．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测）．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．
（1）求主桥AB的长度；
（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
（长度均精确到1m，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）

分析 （1）在Rt△ABP中，由AB=$\frac{AP}{tan∠ABP}$可得答案；
（2）由∠ABP=30°、AP=97知PB=2PA=194，再证△PBD是等边三角形得DB=PB=194m，根据BC=$\frac{DB}{tan∠C}$可得答案．

解答 解：（1）由题意知∠ABP=30°、AP=97，
∴AB=$\frac{AP}{tan∠ABP}$=$\frac{97}{tan30°}$=$\frac{97}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=97$\sqrt{3}$≈168m，
答：主桥AB的长度约为168m；

（2）∵∠ABP=30°、AP=97，
∴PB=2PA=194，
又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°，
∴∠DBP=∠DPB=60°，
∴△PBD是等边三角形，
∴DB=PB=194，
在Rt△BCD中，∵∠C=80°36′，
∴BC=$\frac{DB}{tan∠C}$=$\frac{194}{tan80°36′}$≈32，
答：引桥BC的长约为32m．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和三角函数的定义是解题的关键．

练习册系列答案
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①AC=OE（填“＜”，“=”或“＞”）；
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（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；
（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式CO-CA=$\sqrt{2}$CD．
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A．67×106B．6.7×105C．6.7×107D．6.7×108

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