题目内容

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）点P是线段BC上任意一点，连接MP，作∠MPQ=60°，交MC于点Q，求MQ的最小值；
（3）在（2）中：
①当MQ取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由；
②点P在何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数．

（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中点，∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC
∴AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC
∴△BMP∽△CPQ，
∴ $\text{[math]}$
令PC=x，MQ=y，则BP=4-x，QC=4-y
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴y= $\text{[math]}$ x²-x+4= $\text{[math]}$ （x-2）²+3，即MQ的最小值为3

（3）①△PQC为直角三角形
由（2）知，当MQ取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°
∴∠PQC=90°
②当BP=1时，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，则四边形ABPM四边形MBPD均为平行四边形．
当BP=3时，又PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形．
∴当BP=1或BP=3时，以点P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，
此时平行四边形有4个．
分析：（1）利用全等三角形的性质求出AB=DC；
（2）利用相似三角形的性质 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，列出方程求出一个关于MQ值的函数求最小值即可．
点评：此题主要考查三角形的全等相似性质以及平行四边形的判定，求函数最小值等知识点．