Question

如图，在直角坐标系中，点D（2，0），⊙D与x轴交于原点和点A，又已知B（-1，0），C（0，3），E（0，m），0＜m＜3．
（1）求点A的坐标和直线BC的表达式；
（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙D有哪些位置关系？写出这些关系时的m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据D的坐标可知OD=2，OA是圆的直径，那么OA=2OD=4，因此A的坐标就能求出了．有B，C的坐标，可用待定系数法求出BC的表达式；
（2）我们只要求出BE与⊙D相切时m的值，就能判断出m取何值时，BE与⊙D的位置关系，那么求相切时m的值就是问题的关键，如果连接圆心与切点，那么可求出∠EBD的正切函数的值，那么就能求出OE的长，也就求出m的值了．

解答：解：（1）由题意可知：OD=2，OA=2OD=4，
因此A的坐标是A（4，0），
已知了直线BC过B，C两点，那么：

-k+b=0 b=3

，
解得

k=3 b=3

，
那么BC所在直线的解析式为y=3x+3；

（2）当BE与⊙D相切时，假设切点为F，连接DF，
直角三角形BDF中，BD=3，DF=OD=2，BF=

BD2-DF2

=

5

，
tan∠FBD=

DF

BF

=

2 5

5

，
直角三角形BOE中，BO=1，OE=BO•tan∠FBD=

2 5

5

，
∴m=

2 5

5

，
那么就有：当3＞m＞

2 5

5

时直线与圆相离；
m=

2 5

5

时直线与圆相切；
0＜m＜

2 5

5

时直线与圆相交．

点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．