Question

7．在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针方向旋转60°，到点B（m，1）．若-5≤m≤5，则点C的运动路径长为10．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得到△AB₁C₁，△AB₂C₂是等边三角形，推出△B₁AB₂≌△C₁AC₂，根据全等三角形的性质得到B₁B₂=C₁C₂，∠1=∠2，求得∠3=∠4=60°，于是得到当B₁，B₂在直线y=1上时，点C的路径与直线y=1成60°的角，根据已知条件即可得到结论．

解答 解：由旋转的性质得，C₁B₁=AC₁，C₂B₂=AC₂，∵∠B₁C₁A=∠B₂C₂A=60°，
∴△AB₁C₁，△AB₂C₂是等边三角形，
∴AB₁=AC₁，AB₂=AC₂，∠B₁AC₁=∠B₂AC₂=60°，
∴∠B₁AB₂=∠C₁AC₂，
在△B₁AB₂与△C₁AC₂中，$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}=A{B}_{2}}\\{∠{B}_{1}A{B}_{2}=∠{C}_{1}A{C}_{2}}\\{A{C}_{1}=A{C}_{2}}\end{array}\right.$，
∴△B₁AB₂≌△C₁AC₂，
∴B₁B₂=C₁C₂，∠1=∠2，
∴∠3=∠4=60°，
∴当B₁，B₂在直线y=1上时，点C的路径与直线y=1成60°的角，
∵-5≤m≤5，
∴C₁C₂=B₁B₂=10，
即点C的运动路径长为10，
故答案为：10．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹，正确的作出图形是解题的关键．