题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB。
（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）将（l）中抛物线向右平移两个单位长度，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与抛物线相交于点F，P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）将（l）中抛物线向右平移两个单位长度，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与抛物线相交于点F，P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
解：（1）∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴OC=OA，OD=OB，
∵A（0，3），B（5，0），
∴C（-3，0），D（0，5），
设过B、C、D的抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
把D（0，5）代人得a=-
；
∴
；
（2）由题意可知E点坐标为（7，0），平移前抛物线为
∴向右平移2个单位长度后的抛物线为
解方程组
得
∴F（2，5）
作点E关于对称轴x=3的对称点E′，则E′（-1，0），
∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F，
∴直线E′F与对称轴的交点P是所求的点，
设直线E′F的解析式为y=kx+b，则有2k+b=5，-k+b=0
解得k=
，b=
，
∴直线E′F的解析式为y=x+
，
∴当x=3时，y=
，
∴当|PE-PF|取得最大值时，P点坐标为（3，
）；
（3）设P（3，m），由（2）知E（7，0），（2，5），
则PE2=（7-3）2+m2=m2+16，
EF′=（7-2）2 +52=50，
PF′=（3-2）2+（m-5）2=m2-10m+26，
①若∠PEF=90°，则PE2+EF2=PF2，
即m2+16+50=m2-10m+26，
解得m=-4，
∴P1（3，-4），
②若∠PFE=90°，则PF2+EF2=PE2，
即m2-10m+26+50=m2+16，
解得m=6，
∴P2（3，6），
③若∠FPE=90°，则PF2+PE2=EF2
即m2-10m+26+m2+16=50，
解得
∴
综上所述，存在点P使△EPF为直角三角形，坐标分别是P1（3，-4），P2（3，6），
。
∴OC=OA，OD=OB，
∵A（0，3），B（5，0），
∴C（-3，0），D（0，5），
设过B、C、D的抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
把D（0，5）代人得a=-
；∴
；（2）由题意可知E点坐标为（7，0），平移前抛物线为
∴向右平移2个单位长度后的抛物线为
解方程组
得 ∴F（2，5）
作点E关于对称轴x=3的对称点E′，则E′（-1，0），
∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F，
∴直线E′F与对称轴的交点P是所求的点，
设直线E′F的解析式为y=kx+b，则有2k+b=5，-k+b=0
解得k=
，b=，∴直线E′F的解析式为y=
x+， ∴当x=3时，y=
， ∴当|PE-PF|取得最大值时，P点坐标为（3，
）；（3）设P（3，m），由（2）知E（7，0），（2，5），
则PE2=（7-3）2+m2=m2+16，
EF′=（7-2）2 +52=50，
PF′=（3-2）2+（m-5）2=m2-10m+26，
①若∠PEF=90°，则PE2+EF2=PF2，
即m2+16+50=m2-10m+26，
解得m=-4，
∴P1（3，-4），
②若∠PFE=90°，则PF2+EF2=PE2，
即m2-10m+26+50=m2+16，
解得m=6，
∴P2（3，6），
③若∠FPE=90°，则PF2+PE2=EF2
即m2-10m+26+m2+16=50，
解得
∴
综上所述，存在点P使△EPF为直角三角形，坐标分别是P1（3，-4），P2（3，6），
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