Question

5．已知抛物线的顶点（1，1）抛物线与y轴交于点（0，2），点A为抛物线上一动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，求对角线BD的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出顶点式y=a（x-1）²+1，代入点（0，2）求得a即可；
（2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为（1，1），
∴抛物线的解析式y=a（x-1）²+1，代入点（0，2），
解得：a=1，
∴抛物线的解析式y=（x-1）²+1=x²-2x+2；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
∵AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．