题目内容
【题目】已知抛物线
经过原点O及点A
和点B
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，将直线
沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过B点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向上平移9个单位得到新抛物线，直接写出下列两个问题的答案：
①直线
至少向上平移多少个单位才能与新抛物线有交点？
②新抛物线上的动点Q到直线
的最短距离是多少？
【答案】（1）
；（2）点P的坐标为
或
；（3）①8；②
.
【解析】试题分析：（1）首先由抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，得出c=0，那么抛物线的解析式为y=ax2+bx，再把点A（4，0）和点B（-2，3）代入y=ax2+bx，得到关于a、b的方程组，解方程组即可；
（2）先由“上加下减”的平移规律得出直线l的解析式为y=-2x-n，将点B（-2，3）代入，求出n=1，那么直线l的解析式为y=-2x-1，D（0，-1）．再求出C（2，0），E（2，-5），得到点D（0，-1）是线段BE的中点．由CE=CB=5，PB=PE，得出点P是直线CD与该抛物线的交点．再用待定系数法求出CD的解析式为y=
x-1，将它与抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点P的坐标；
（3）由“上加下减”的平移规律得出新抛物线的解析式为y=
x2-x+9．
①设直线y=-2x向上平移t个单位能与新抛物线有交点，将y=-2x+t代入y=
x2-x+9，得
x2+x+9-t=0，由△=12-4×
（9-t）≥0，求出t≥8，那么t的最小值即为所求；
②先求出新抛物线与直线y=-2x+8的交点坐标，根据题意得出点Q的坐标，到直线y=-2x的距离最短．过点Q作QR⊥直线y=-2x于点R，则RQ为所求．
试题解析：（1）依题意得
解得： 
， 
．
∴抛物线的解析式为
．
（2）设直线l的解析式为
，∵直线l过点B
，∴
．
∴直线l的解析式为
，∴D
．
∵抛物线的对称轴为
，∴C
，E
．
∴点D
是线段BE的中点．
又∵CE=CB=5，∴CD垂直平分BE．
∵PB=PE，∴点P是抛物线与直线CD的交点．
易求CD的解析式为
，
由
解得
∴点P的坐标为
或
．
（3）①直线
至少向上平移8个单位才能与新抛物线有交点；
②新抛物线上的动点Q到直线
的最短距离是
.
【题目】为了了解七年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中右侧扇形统计图中的圆心角α为36°，根据图表中提供的信息，回答下列问题：
体育成绩统计表 | ||
体育成绩（分） | 人数（人） | 百分比（%） |
26 | 8 | 16 |
27 | 12 | 24 |
28 | 15 | |
29 | n | |
30 | ||
（1）求样本容量及n的值；
（2）已知该校七年级共有500名学生，如果体育成绩达28分以上为优秀，请估计该校七年级学生体育成绩达到优秀的总人数．
