Question

【题目】如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝10，BF＝16，AD＝15， 则□ABCD 的面积是　　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）144

【解析】分析：（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明∠BAE=∠BEA，从而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；

（2）过A作AH⊥BE，根据菱形的性质可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=10，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后可得ABCD的面积．

详解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AB=AF，

∴AF=BE，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=AF

∴四边形ABEF是菱形．

（2）过A作AH⊥BE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=EO，BO=FO，BE=AB=10，AE⊥BF，

∵BF=16，

∴BO=8，

∴AO==6，

∴AE=12，

∴S菱形ABEF=AEBF=×12×16=96，

∴BEAH=96，

∴AH=9.6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=15，

∴S平行四边形ABCD=9.6×15=144.

故答案为：144．