Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：
点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．
如图，直线l：y=-x-4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．
（1）在直线y1=-2x，y2=3x+1，y3=-x+3中，是如图函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为y1=-2x；
请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：y=-3x；
（2）如图，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；
（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y1=-2x，y=-3x；（2）y=-x+4；（3）当t≥2或t≤-8时，直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．

【解析】

（1）根据的“隔离直线”的定义即可解决问题；
（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．过点D作DH⊥OD交y轴于点H，易知直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”，求出直线DH即可解决问题；
（3）分两种情形正方形在x轴上方以及在x轴下方时，分别求出正方形的一个顶点在直线y=2x+b上时的t的值即可解决问题．

解：（1）根据的“隔离直线”的定义可知y1=-2x，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，
直线y=-3x也是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，
故答案为y1=-2x，y=-3x．
（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．

在Rt△DGO中，OD=，

∴∠1=30°，∠2=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，
∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
在Rt△ODH中，OH=
∴点H的坐标是（0，4），
∴直线DH的表达式为y=-x+4，
即所求“隔离直线”的表达式为y=-x+4．
（3）如图，

由题意F（4，5），当直线y=2x+b经过点F时，5=8+b，
∴b=-3，
∴直线y=2x-3，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t），
易知正方形正方形A1B1C1D1的边长为2，
当x=2时，y=1，
∴C1（2，1），直线EF是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，此时t=2，
当直线y=2x+b与y=x2-2x-3只有一个交点时，

消去y得到x2-4x-3+b=0，
由△=0，可得16-4（-3-b）=0，
解得b=-7，
此时易知M（1，-8），t=-8，
根据图象可知，当t≥2或t≤-8时，直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．