Question

如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，∠BED=∠C．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OA=6，AC=8，求BD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证明AC为⊙O的切线，只需证得∠OAC=90°即可；
（2）如图，连接BD构建直角△ABD．然后通过解直角△ABD、直角△OAC来求线段BD的长度．
解答：解：（1）∵OC⊥AD，
∴∠FOA+∠FAO=90°．   
∵∠BED=∠C，∠BED=∠FAO，
∴∠C=∠FAO，
∴∠FOA+∠C=90°，
∴∠OAC=90°，
又OA是圆O的半径，
∴AC为⊙O的切线；

（2）如图，连接BD，则∠ADB=90°．
∵∠OAC=90°，且OA=6，AC=8，
∴在直角△AOC中，由勾股定理得OC===10．
又∵∠C=∠FAO，
∴sin∠C=sin∠FAO，即=，
∴BD==7.2，即线段BD的长度是7.2．
点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质．解答（2）题时，借用了勾股定理来求线段OC的长度的．