Question

12．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

Answer 1

分析 （1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得$\frac{CA}{CP}=\frac{CE}{CA}$，然后可得CE•CP的值．

解答 解：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=30°，
∵PA=PD，
∴∠PAO=∠D=30°，
∴∠OPD=90°，
∴PD是⊙O的切线．

（2）连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，
∵AB=4，$AC=ABsin{45°}=2\sqrt{2}$．
∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴$\frac{CA}{CP}=\frac{CE}{CA}$，
∴CP•CE=CA²=（2$\sqrt{2}$）²=8．

点评 此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．