Question

如图，A为第一象限内一点．⊙A切y轴于点D，交x轴于点B，C，点E为BC的中点．
（1）求证：四边形OEAD是矩形；
（2）若A（5，4），求过点D，B，C的抛物线解析式；
（3）点F与（2）中的点D，B，C三点构成平行四边形，把（2）中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得抛物线经过点F？请直接写出点F的坐标及相应平移方向与平移距离；
（4）在（2）的条件下，点P为线段AD上的一动点，在BP右侧作PQ⊥PB，且PQ=PB，求当DQ+BQ最小时P点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据切线的性质得出∠ADO=90°，根据垂径定理得出∠AEO=90°，因为∠DOE=90°，即可证得结论；
（2）连接AB，根据勾股定理求得BE，进而求得B、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；
（3）根据平行四边形的性质和平移的性质即可求得；
（4）过P作PF⊥x轴于F，过Q作QG⊥FP于G，先求得△PGQ≌△BFP，从而求得QG=PF=4，GP=FB，设点Q的横坐标为x，则DP=OF=x-4，BF=OB-OF=6-x，进而求得FG=GP+PF=10-x，得出Q（x，10-x），证得点Q始终在直线y=10-x的直线上，作点D关于直线y=10-x的对称点D′（6，10），并连接D′B，交直线y=10-x于Q，此时DQ+BQ的值最小；设直线BD′的解析式为y=kx+b，根据待定系数法即可求得直线BD′的解析式，再与y=10-x联立方程，通过解方程求得Q的坐标，进而就可求得P的坐标．

解答：解：（1）如图1，
∵⊙A与y轴相切，
∴AD⊥y轴，
∵点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEO=90°，
∵∠DOE=90°，
∴四边形OEAD是矩形；

（2）如图2，连接AB，
∵A（5，4），
∴AD=OE=5，AE=OD=4，
∴AB=AD=5，
∴在RT△ABE中，BE=

AB2-AE2

=

52-42

=3，
∵点E为BC的中点，
∴CE=BE=3，
∴B（2，0），C（8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8），
把D（0，4）代入，得4=16a，解得a=

1

4

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

（x-2）（x-8）；

（3）将抛物线向上平移6个单位长度经过点F₁（6，4），
将抛物线向下平移24个单位长度经过点F₂（-6，4），
将抛物线向下平移8个单位长度经过点F₃（8，-4）；

（4）如图3，过P作PF⊥x轴于F，过Q作QG⊥FP于G，
∴∠G=∠PFB=90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠GPQ+∠BPF=90°，
∵∠GPQ+∠PQG=90°，
∴∠PQG=∠BPF，
∵PQ=PB，
∴△PGQ≌△BFP（AAS），
∴QG=PF=4，GP=FB，设点Q的横坐标为x，则DP=OF=x-4，BF=OB-OF=6-x，
∴FG=GP+PF=10-x，
∴Q（x，10-x），
∴点Q始终在直线y=10-x的直线上，
作点D关于直线y=10-x的对称点D′（6，10），并连接D′B，交直线y=10-x于Q，此时DQ+BQ的值最小；
设直线BD′的解析式为y=kx+b，则

6k+b=10 2k+b=0

，解得

k= 5 2 b=-5

，
∴直线BD′的解析式为y=

5

2

x-5，
解

y= 5 2 x-5 y=10-x

得

x= 30 7 y= 40 7

，
∴Q（

30

7

，

40

7

），
∴DP=x-4=

2

7

，
∴P（

2

7

，4）．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，矩形的判定，三角形求得的判定和性质，平移的性质等，本题有一定的难度，（4）确定出Q点是本题的关键．