Question

13．已知抛物线y=-（x-m）²+1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C．当点B在原点的右边，点C在原点下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先求出拋物线y=-（x-m）²+1与x轴的交点，与y轴的交点，再用m表示出OB，OC的长度，根据当△BOC为等腰三角形时，BO=OC列出方程，即可求出答案．

解答 解：当y=0时，-（x-m）²+1=0，即有（x-m）²=1．
∴x₁=m-1，x₂=m+1．
∵点B在点A的右边，
∴A（m-1，0），B（m+1，0），
∵点B在原点右边
∴OB=m+1，
∵当x=0时，y=1-m²，点C在原点下方，
∴OC=m²-1，
当m²-1=m+1时，m²-m-2=0，
∴m=2或m=-1（因为对称轴在y轴的右侧，m＞0，所以不合要求，舍去），
∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m=2．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是用m表示出OB，OC的长度，列出方程．