Question

18．如图，D是△ABC的BC边上的一点，O₁、O₂和O₃分别为△ABC、△ADB和△ADC外接圆的圆心，求证：A、O₂、O₁、O₃四点共圆．

Answer 1

分析 连AO₂、O₂O₁、O₁O₃、O₂O₃，得O₁O₂、O₁O₃、O₂O₃分别垂直平分AB、AC、AD，则由∠O₁+∠O₂AO₃=180°得到结论．

解答 解：连AO₂、O₂O₁、O₁O₃、如图，
∵O₁、O₂和O₃分别为△ABC、△ADB和△ADC外接圆的圆心，
∴O₁O₂、O₁O₃、O₂O₃分别垂直平分AB、AC、AD，
∴∠O₁+∠O₂AO₃=180°，
∴A、O₂、O₁、O₃四点共圆．

点评 本题考查了四点共圆：将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆；连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆．利用三角形外心的性质是解决问题的关键．