Question

8．已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以点A，点B为圆心的⊙A，⊙B外切，以点C为圆心的⊙C分别与⊙A，⊙B内切，求⊙A，⊙B，⊙C的半径长．

Answer 1

分析 由勾股定理求出斜边AC，设⊙A，⊙B，⊙C的半径长分别为x、y、z；根据题意得出方程组，解方程组即可．

解答 解：如图所示：
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
设⊙A，⊙B，⊙C的半径长分别为x、y、z；
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}&{\;}\\{z-y=4}&{\;}\\{z-x=5}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}&{\;}\\{y=2}&{\;}\\{z=6}&{\;}\end{array}\right.$．
故⊙A，⊙B，⊙C的半径长分别为1，2，6．

点评 本题考查了勾股定理、相切两圆的性质；熟练掌握相切两圆的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．