Question

已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃均在x轴正半轴上．若已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，且B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，则点A₃的坐标是（　　）

• A．（3+

  3

  2

  ，

  3 +1

  6

  ）
• B．（

  3

  +

  3

  2

  ，

  3 +3

  18

  ）
• C．（

  3

  +

  3

  2

  ，

  3 +1

  6

  ）
• D．（3+

  3

  2

  ，

  3 +3

  18

  ）

Answer 1

分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，然后解直角三角形求出OC₁、C₁E、E₁E₂、E₂C₂、C₂E₃、E₃E₄、E₄C₃，再求出B₃C₃，过点A₃延长正方形的边交x轴于M，过点A₃作A₃N⊥x轴于N，先求出A₃M，再解直角三角形求出A₃N、C₃N，然后求出ON，再根据点A₃在第一象限写出坐标即可．

解答：解：如图，∵B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，
∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，
∴OC₁=

1

2

×1=

1

2

，
C₁E=

3

2

×1=

3

2

，
E₁E₂=

1

2

×1=

1

2

，
E₂C₂=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
C₂E₃=E₂B₂=

1

2

，
E₃E₄=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
E₄C₃=

3

6

×

3

3

=

1

6

，
∴B₃C₃=2E₄C₃=2×

1

6

=

1

3

，
过点A₃延长正方形的边交x轴于M，过点A₃作A₃N⊥x轴于N，
则A₃M=

1

3

+

1

3

×

3

3

=

3+ 3

9

，
A₃N=

3+ 3

9

×

3

2

=

3 +1

6

，
C₃M=

3+ 3

9

×

1

2

=

3+ 3

18

，
∴C₃N=（

1

3

×

3

3

×2）-

3+ 3

18

=

3 -1

6

，
ON=

1

2

+

3

2

+

1

2

+

3

6

+

1

2

+

3

6

+

1

6

+

3 -1

6

，
=

3

+

3

2

，
∵点A₃在第一象限，
∴点A₃的坐标是（

3

+

3

2

，

3 +1

6

）．
故选C．

点评：本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含30°角的直角三角形，依次求出x轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A₃作辅助线构造出含60°角的直角三角形．