Question

如图，在平面直角坐标中，已知直线y=kx+b与直线y=

1

2

x平行，分别交x轴，y轴于A，B两点，且A点的横坐标是-4，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=

5

．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，试求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由直线y=kx+b与直线y=

1

2

x平行，得出k的值，由A的横坐标为-4，确定出A的坐标，将A的坐标代入直线AB解析式中求出b的值，确定出直线AB的解析式，令x=0，求出对应的y值，即为B的纵坐标，确定出OB的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，再由AD的长，利用矩形的面积公式即可求出矩形ABCD的面积；
（2）由三角形ADH和三角形AOB中两锐角互余，列出两个等式，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得出三角形ADH与三角形AOB相似，由相似得比例，将AD，AB，OA及OB的长代入，求出DH与AH的长，再由AH+OA求出OH的长，由D为第二象限点，即可得出D的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=kx+b与直线y=

1

2

x平行，
∴k=

1

2

，
由A的横坐标为-4，得到A（-4，0），即OA=4，
将x=-4，y=0代入y=

1

2

x+b得：

1

2

×（-4）+b=0，
解得：b=2，
∴直线AB解析式为y=

1

2

x+2，
令x=0，解得：y=2，
∴B（0，2），即OB=2，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=2

5

，
又AD=

5

，
则矩形ABCD的面积S=AD•AB=10；
（2）在Rt△ADH和Rt△BAO中，
∵∠HAD+∠ADH=90°，∠HAD+∠BAO=90°，
∴∠ADH=∠BAO，又∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽△BAO，
∴

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

AB

，即

DH

4

=

AH

2

=

5

2 5

=

1

2

，
解得：DH=2，AH=1，
∴OH=OA+AH=4+1=5，
则D的坐标为（-5，2）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及矩形的面积公式，其中根据两直线平行时k值相同得出k的值是本题的突破点．