题目内容
14、已知：实数x，y，z满足：x+y+z=0，xy+yz+zx=3，求z的最大值．
分析：首先将原式变形：x+y=-z，xy=3+z2，又由韦达定理知：xy是一元二次方程w2+zw+（3+z2）=0的两实根，利用判别式求解即可得到答案．
解答：解：∵x+y+z=0，
∴x+y=-z，①
∵xy+yz+zx=3，
∴xy=3-（yz+zx）=3-z（x+y）=3-z（-z），
即xy=3+z2，②
由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程w2+zw+（3+z2）=0的两实根，
则判别式△=z2-4（3+z2）≥0，
∴-2≤z≤2，
∴z的最大值是2．
∴x+y=-z，①
∵xy+yz+zx=3，
∴xy=3-（yz+zx）=3-z（x+y）=3-z（-z），
即xy=3+z2，②
由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程w2+zw+（3+z2）=0的两实根，
则判别式△=z2-4（3+z2）≥0，
∴-2≤z≤2，
∴z的最大值是2．
点评：此题考查了最值问题．解此题的关键是得到关于z的一元二次方程，利用判别式求解．此题难度较大，解题时要注意细心．
练习册系列答案
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